FluxMotor 馬達設計
【Flux技術專題】工程電磁場數值模擬與應用- 理論入門
電磁場數值計算理論基礎
不論採用哪種電磁場計算工具，其都得滿足遵循電磁場的基本規律，學習理解電磁場的基礎理論對掌握數值模擬方法、正確評價模擬結果以及深入理解軟件操作都是有益的。
Altair Flux是專業的低頻電磁場模擬工具，其所有分析應用都滿足電磁場基本原理：Maxwell方程組。
(一) 電磁場理論基礎
Maxwell 方程組
(2).png)
所有的宏觀電磁問題都滿足Maxwell方程組
四個Maxwell方程組的物理學意義解釋如下：
全電流定律（安培環路定律）
- 產生磁場的旋度源是電流（傳導電流密度+位移電流密度）
- 變化的電場也產生磁場（傳導電流＋變化的電場）
.png)
磁通連續性原理（磁通高斯定律）
- 磁場是無源場（磁力線總是閉合曲線）
(9).png)
流進一個閉合面的磁通量等於流出的磁通量
法拉第電磁感應定律
- 變化的磁場也會產生電場 （電荷＋變化的磁場）
(10).png)
高斯定律
- 表明電場是有源場，電場的源是電荷
- 電荷以發散的方式產生電場
(9).png)
穿過某閉合面的總電通量等於該面所包圍的總電荷量
(7).png)
Maxwell方程組加上洛倫茲力的計算公式，合起來構成了靜止及運動媒質中電動力學的基礎，概括了發電機、電動機和其他電磁裝置的工作原理，也概括了電磁波的發射、傳播和接收的原理，正確反映了電磁場中各物理量之間的相互關係。
電磁學問題分類
- 低頻（準靜態場，忽略波動效應）
- 高頻（電磁波的傳播）
電磁場的類型
穩恆場
- 靜電場
- 恆定電流場
- 恆定磁場
時變場
- 瞬態電場
- 瞬態磁場
(8).png)
(4).png)
(二) 電磁場數值計算理論基礎
什麼是計算電磁學？
以電磁場理論為基礎，以高性能計算技術為手段，運用計算數學提供的各種方法，解決複雜的工程問題。
電磁場數值計算的理論和方法是計算電磁學的重要組成部分，其任務是在已知設計方案的條件下通過數值分析的手段對方案進行評價，屬於電磁場正問題。即：
- 已知給定區域的幾何結構、物理參數
- 求解一個電磁場的定解問題（獲得電場、磁場分佈及各特性參數）
電磁場數值計算的關鍵要素
- 電磁問題數學模型的控制方程
- 場域的離散化
電磁場數值計算方法的分類
- 從數學模型中控制方程的形式上分：微分方法和積分方法
- 從場域離散化方式上分：場域元法、邊界元法、和等效源法
(6).png)
電磁場的邊值問題
- 求解某一確定區域內滿足定解條件的電磁場方程的問題
- 定解條件：區域邊界條件、時變場初始條件
矢量場唯一性定理
一個矢量場被它的散度、旋度和邊界條件（矢量的方向或切向分量）唯一地確定。
為了便於求解矢量方程，可通過位函數將電磁場方程進行改寫，構成電磁場的位方程。
電磁場控制方程的位函數變換
(5).png)
對電磁位（磁矢位、電標位）施加一定的約束條件，即假設電磁位滿足某種規範條件，則可進一步簡化電磁位波動方程，電磁位的規範變換滿足規範不變性。
電磁位的波動方程與規範
a) 洛倫茲規範（求解域內不存在導電媒質，且電流密度J 已知）
(4).png)
b)電導率規範（時變磁場中，求解域內存在導電媒質，其中產生感應渦流，忽略位移電流密度）
(2).png)
c)庫侖規範（靜態場，場量不隨時間變化）
(2).png)
通過對電磁位方程應用適當的規範變換，實現了A和φ的解耦，電磁場計算成為求解A和φ單獨滿足的微分方程。
工程電磁場問題中，求解區域內包含不同性質的媒質，為了減小計算規模，往往將求解區域分成不同性質的子區域，在其中採用不同的位函數作為未知函數建立微分方程。
由於兩種媒質的交界面上電磁特性發生突變，微分方程在交界面上不成立，在分區列出電磁位方程基礎上，同時需要列出交界面條件，從而將不同區域的微分方程關聯起來，聯立求解。
工程電磁場（低頻）
針對工程電磁場即低頻電磁場，認為其電磁場隨時間變化相對緩慢，當電磁場隨時間緩慢變化時，方程中的
(2).png)
約等於0，此時稱為準靜態電磁場，具有靜態場的一些性質。
(2).png)
電準靜態場方程
(2).png)
(1).png)
電準靜態場中只計算電場物理量，不計算磁場物理量。
磁準靜態場方程
(1).png)
(1).png)
產生磁場的源是電流密度。
變化的磁場產生感應電場，
導體中形成感應電流（J=σE）
時變磁場可按磁準靜態場處理的條件：
1. 導電介質：ωε≪σ
2. 理想介質：R≪λ
對於純金屬（良導體）而言，σ≈10^7S/m，ε≈ε_0，則ω≪10^17 1/s，即在導體中一直到紫外波長都可以忽略位移電流。
電磁場問題邊界條件
當求解區域中包含多種媒質時，實際上場的控制方程時對應於每種媒質分區列寫的。
- 不同媒質的分界麵條件
(1).png)
- 位函數在不同媒質分界麵條件
(1).png)
(1).png)
電磁場能量並非局限於有限區域，實際為開域問題，數值計算中存在場求解域邊界。
場域邊界條件：
1. 無窮遠截斷邊界條件（第一類齊次邊界條件）
2. 垂直邊界條件（第二類齊次邊界條件）
(1).png)
3. 對開域問題、對稱問題的處理
(1).png)
電磁場數值分析對電磁問題的描述
.png)
場域邊界條件、時間初始條件
.png)
單元離散
數值計算需要將連續的求解區域離散成為許多單元，用這些單元的集合來表示整個區域，把尋找具有無限多自由度（未知量）的解析解任務降低為尋找有限個單元節點上的自由度的數值解。
.png)
單元離散的過程稱為“網格剖分”，離散後的模型稱為網格模型，連續域的電磁場方程變成離散的矩陣方程。
.png)
工程電磁場數值計算的有限元方法
.png)
工程電磁場數值計算中，以有限元方法應用最廣泛：
- 有限元網格具有很大的靈活性，支持不同類型的單元形狀，能適應複雜的幾何形狀
- 基於有限元法的離散化方程的係數矩陣具有稀疏對稱特點，大大簡化矩陣方程組的求解
- 邊界條件的處理容易併入有限元數學模型，易於編程
- 有限元方法對整個場域空間進行網格離散，網格生成任務繁重，單元/節點數量大
.png)
.png)
電磁場有限元模擬步驟
.png)
電磁場問題模擬示例
.png)
磁場數值模擬示例Demo
.png)
工程電磁場數值模擬的應用